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1. P-M 상관도란 무엇인가요?

P-M 상관도(하중-모멘트 상관도 또는 P-M Interaction Diagram/Curve)는 철근 콘크리트 기둥 설계에서 기둥이 파괴에 견딜 수 있는 축력(Axial force)과 휨 모멘트(Bending Moment) 사이의 상호작용을 도표로 표현한 것 입니다. 따라서 P-M 상관도는 축력과 휨 모멘트가 동시에 작용하는 철근 콘크리트 축방향 부재 설계에 사용됩니다. 축력과 휨 모멘트가 동시에 작용하는 부재의 설계에 P-M 상관도가 필요한 이유는 축력의 작용으로 인해 내부 저항 휨모멘트(internal couple)의 평형 방정식 “C=T”가 (C: 압축합력, T: 인장합력) 성립하지 않기 때문입니다. 그래서 축력이 작용하는 부재의 모멘트는 소성 중심(plastic centroid)축을 기준으로 계산되어야 합니다. 작용하는 하중 형태를 기준으로 부재 유형을 정리하자면, 축력 없이 휨 모멘트와 전단만으로 지지되는 구조 부재는 보(beam)라고 하고, 축력도 같이 작용하는 구조 부재는 기둥(column)이라고 합니다.

아래 그림은 교각의 위치 별 철근 배근과 그에 따라 달라지는 P-M 상관도의 예시입니다.

그림 1. 교각 철근 배근 모델링과 P-M 상관도

2. P-M 상관도 작성 시 고려사항

철근 콘크리트가 저항할 수 있는 축하중과 모멘트에 대한 강도의 상관 관계를 보여주는 것이 P-M 상관도입니다. 실제 설계 시 활용할 수 있는 P-M 상관도를 제공하는 다양한 프로그램들이 있으며, midas Civil에서도 P-M 상관도를 작성할 수 있는 기능을 제공하고 있습니다.

P-M 상관도를 작성하기 위한 중요 point는 아래 그림과 같습니다. 그 중에서 압축 지배 구간과 인장 지배 구간을 구분하는 점이 균형 상태 (balanced point)입니다.

그림 2. P-M 상관도

 각 구간의 강도를 직접 계산할 수 있는 예제는 이미 많이 있기 때문에 계산 방법에 대한 설명은 생략하고, 본 블로그에서는 첨부 엑셀 파일에 사용된 ACI318-14 기준에서 주요하게 필요한 항목에 대하여 설명하고자 합니다. 

1) 순수 압축

모멘트(M) 없이 축력(P)만 작용하는 상태로 e=0이고, 이론상 c는 무한대입니다.

• Nominal axial compressive strength, P_n (ACI 318-14 Cl.22.4.2.1)
• Nominal axial strength at zero eccentricity, P₀ (ACI 318-14 Cl.22.4.2.2)

2) 균형 상태

P-M 상관도 상 축력(P)과 모멘트(M)가 압축 콘크리트와 인장철근 사이에 균등하게 분배되어 대칭의 응력분포를 나타내는 상태입니다. 균형 상태에서는 철근과 콘크리트를 최대한 활용하여 경제적인 설계를 가능하게 합니다. 

• Maximum strain at the extreme concrete compression fiber, ε_n (ACI 318-14 Cl.22.2.2.1)
• Depth of equivalent rectangular stress block, a (ACI 318-14 Cl.22.2.2.4.1)
• Distance from extreme compression fiber to the neutral axis, c (ACI 318-14 Cl.22.2.2.4.2)

• Factor relating depth of equivalent rectangular compressive stress block to depth of neutral axis, β₁ (ACI 318-14 Cl.22.2.2.4.3)

3) 순수 휨

축력(P)이 0일 때의 모멘트로 보와 같은 거동을 하는 구간입니다. 반복계산을 통해 철근의 저항력 Fs와 콘크리트 단면의 저항력 Fc의 합이 0이 될 때의 c 값을 찾을 수 있습니다.

4) 순수 인장

축인장이 작용하는 경우로 콘크리트 단면은 저항하지 못하며 오직 철근의 인장력 만으로 저항하게 되는 구간입니다.

단면의 형상이 복잡해질수록 P-M 상관도를 설계자가 직접 작성하는 것은 쉬운 일이 아닙니다. 하지만 간단한 예제를 직접 계산해 본다면 P-M 상관도를 더 이해하게 되고 다양하게 활용할 수 있게 될 것입니다.

아래 그림은 P-M 상관도를 활용해서 단일 말뚝의 철근 배근이 달라지는 구간을 정하는 예시입니다. 철근이 바뀌는 구간을 설계자가 직접 판단해야 할 때 사용할 철근 배근에 대한 P-M 상관도 값을 미리 계산해서 아래 그림과 같은 시트로 만들 수 있습니다. 이렇게 만들어진 엑셀 시트를 활용하면 단주 전체 구간의 설계 부재력 / 강도 비를 눈으로 보면서 철근 배근 구간을 정하는데 활용할 수 있습니다.

그림 3. P-M 상관도를 활용한 단일 말뚝의 설계

3. P-M 상관도 예제 : 원형 단면 

원형 단면의 P-M 상관도을 작성하는 엑셀파일입니다. ACI 318-14를 기준으로 제작되었으며, SI unit과 US unit 시트가 구분되어 있습니다. 검토할 단면의 치수와 철근 정보를 입력해서 P-M 상관도를 작성하고 설계하중에 대한 설계 부재력/강도 비를 계산할 수 있습니다.

(상세 설계 단계에서는 반드시 전용 프로그램을 사용할 것을 권장합니다. 목표값 찾기(Goal Seek)를 위한 VBA가 포함된 엑셀파일로 확장자는 [*.xlsm] 입니다)