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1. 단면 2차 모멘트

단면의 휨강도(Flexural Strength)를 평가하는 척도로 사용되는 단면 2차 모멘트는 구조물의 처짐이나, 휨응력, 전단응력을 계산하는 데도 사용됩니다. 단면 2차 모멘트를 계산하는 식은 다음과 같은 과정으로 유도할 수 있고, 결과적으로 모멘트-곡률 관계식(Moment-Curvature Relation)도 도달할 수 있습니다.

아래 그림과 같이 모멘트만 작용하는 단면에서 모멘트 M과 단면에 작용하는 수직 응력에 의해 발생하는 모멘트의 합이 같다는 것을 알 수 있습니다. 이 식을 n개의 미소요소(Infinitesimal Element)로 분할된 단면에 작용하는 응력에 관한 식으로 다시 정리할 수 있고, 정리된 식은 다음과 같습니다.

그림 1. 단면 2차 모멘트 계산식 유도

위에서 얻은 식에 선형 탄성재료의 응력 계산식을 대입하면 다음과 같이 표현됩니다. y의 제곱과 단면적의 곱을 모두 더한 항을 단면 2차 모멘트라고 하고 ‘I’라고 표기합니다. 단면2차모멘트는 길이의 제곱과 단면적의 곱이기 때문에 네 제곱의 단위를 갖습니다.

이 식을 곡률과 모멘트에 대해 정리하면 다음과 같습니다. 곡률은 모멘트에는 비례하고, ‘EI’에는 반비례하는 것을 알 수 있습니다. 여기서 ‘EI’를 휨강도라고 하고, 구조 부재가 휨에 저항할 수 있는 수준에 대한 척도로 사용됩니다. 부재의 고유한 물성치인 탄성계수와 부재 형상이 강도를 결정하는 중요한 요인이라는 것을 알 수 있습니다. 

탄성계수가 큰 재료를 사용하거나, 단면 2차 모멘트가 큰 단면을 사용하게 되면 휨강성이 증가하게 되고, 휨강성이 증가하면 휨에 저항하는 능력이 증가할 뿐만 아니라, 처짐이나 처짐각도 반비례 관계에 있기 때문에 구조물의 처짐도 작아지게 됩니다.

위의 과정을 통해 유도된 단면 2차 모멘트 계산식을 아래 예제를 통해 일반화 시킬 수 있습니다. x축을 기준 축으로 하는 임의 단면의 단면 2차 모멘트를 계산하면 다음과 같습니다. 기준축인 x축으로부터 도심까지의 거리는 ‘r’이고, 도심 축으로부터 미소 요소까지의 거리는 ‘y_n’으로 나눠서 계산할 수 있습니다.

그림 2. 단면 2차 모멘트와 평행축 정리

도심 축으로부터 미소 요소까지의 거리로 계산되는 단면 1차 모멘트 ‘Q_G’는 0이되기 때문에, 결과적으로 x 축을 기준으로 하는 단면 2차 모멘트는 도심 축을 기준으로 하는 단면 2차 모멘트 ‘I’와 ‘r²’ 곱하기 ‘A’의 합으로 계산되는 것을 알 수 있습니다. ‘r²’ 과 단면적 ‘A’는 항상 양수이기 때문에 단면 2차 모멘트는 기준축 이 도심일 때 가장 작은 값이 된다는 것을 알 수 있습니다.

단면 2차 모멘트 계산에서 도심을 기준 축으로 하는 경우에는 ‘I’ 이고 x축을 기준 축으로 하는 경우에는 Ix가 된다는 것을 알 수 있습니다. 기준 축에 따라 단면 2차 모멘트 값이 달라진다는 것을 위의 유도 과정을 통해 알 수 있습니다. 기준 축에 따른 단면 2차 모멘트의 일반화된 식을 구하기 위해 기준 축을 도심에서 x축으로 이동시키는 것을 평행축 정리(Parallel-axis Theorem)라고 합니다.

기준 축에 따라 단면 2차 모멘트가 어떻게 달라지는지 아래 사각형 단면을 통해 확인할 수 있습니다.

그림 3. 기준축에 따른 단면 2차 모멘트의 변화 예제

기준 축이 도심위치에 있는 경우와, x축을 기준 축으로 하는 경우에 사각형 단면의 단면 2차 모멘트가 어떻게 달라지는지 확인할 수 있습니다. 

2. 단면 2차 모멘트의 활용

그렇다면 단면 2차 모멘트는 공학적으로 어떤 의미를 가질까요? 그 의미는 위에서 잠깐 언급되었다시피 단면 2차 모멘트를 활용한 다양한 개념들에서 찾을 수 있습니다. 먼저 단면 2차 모멘트는 휨응력과 밀접한 관련이 있습니다. 휨응력은 외력에 의해 구조물에 휠 때 발생하는 응력으로 구조물의 단면 2차 모멘트와 반비례 합니다. 즉, 단면 2차 모멘트가 클 수록 휨에 의한 변형이 적어지기 때문에 휨응력도 작아집니다. 또한 전단응력과 처짐도 마찬가지로 단면 2차 모멘트가 증가할수록 그 값이 줄어들게 되는데 이렇듯 단면 2차 모멘트는 다양한 개념에서 찾아볼 수 있으며 아래와 같은 공식 등으로 표현될 수 있습니다.

또한, 강재 구조물의 안전성을 검토하거나 좌굴 및 진동특성 등 구조물의 안전성을 검토할 때 필수적으로 단면 2차 모멘트를 고려해야합니다. 앞서 언급되었듯 단면 2차 모멘트가 커질 수록 휨에 대한 저항능력이 커지게 되기 때문에 따라서 좌굴과 같이 축방향 힘에 대하여 발생하는 현상에 대해서 단면 2차 모멘트를 고려해야 합니다.  

3. Box형 단면 예제

게시글 하단에 제공된 Box형 단면의 예제 파일의 확장자는 [*.xlsm]입니다. 해당 예제를 활용하여 Box형 단면의 도심, 단면 1차 모멘트, 단면 2차 모멘트를 계산해보세요.