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1. 단면의 기하학적 특성

단면의 구조적 성능, 저항 능력을 나타내는 지표인 단면의 성질은 재료적인 특성과는 상관없이 단면의 형상과 치수에 따른 성질입니다. 이러한 단면의 성질은 휨응력 및 전단응력, 처짐, 강도, 좌굴(Bulking) 등 구조물 설계 전반에 사용되는 필수적인 요소입니다. 따라서 이러한 요소들을 고려하기 위해서 midas Civil에서는 일반적인 단면에 대하여 단면 특성이 자동으로 계산이 되며, 복잡한 단면일 경우 SPC를 통해 단면 특성이 고려된 Section을 만들어서 Import 할 수 있습니다. 

그림 1. Box형 거더 단면의 특성

단면 특성 중에서도 굽힘 공식(flexure formula)과 전단 공식(shear formula)에 사용되는 도심(centroid of area), 단면 1차 모멘트(first moment of area) 그리고 단면 2차 모멘트(moment of inertial)의 관계와 계산하는 방법에 대해 알아봅시다.

2. 도심과 단면 1차 모멘트

단면 1차 모멘트는 주로 단면의 도심과 보(Beam)의 전단응력을 계산하기 위해 사용되고 다음과 같은 과정을 통해 계산식을 유도할 수 있습니다.

응력-변형률 선도 (stress-strain diagram)를 통해 훅의 법칙(Hooke’s Law)를 만족하는 선형구간(linear region)을 확인할 수 있습니다. 이 구간에서 선형탄성적(linearly elastic)거동을 하는 재료의 응력-변형률 관계식은 변형률-곡률 관계식(strain-curvature relation)과 함께 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

위의 식을 아래에 축력 없이 휨만 작용하는 단면에 적용해서 단면 1차 모멘트를 계산하는 식을 얻을 수 있습니다. 축력은 없이 휨만 작용하기 때문에 수직 응력의 합이 0입니다.

단면 내에 미소면적(infinitesimal area) ‘dA’, 중립축으로부터의 거리 ‘y’인 요소에 작용하는 응력 ‘σ₁’을 위의 식을 통해 계산할 수 있습니다. 단면 전체에 분포한 n개의 미소 면적에 작용하는 응력의 합은 0이 되고 다음과 같이 표현할 수 있다. 곡률 κ와 탄성계수 E는 0이 아닌 상수이기 때문에 dA와 y의 곱을 적분한 값이 0이 되어야 합니다.

이 계산을 통해 선형 탄성재료의 경우 중립축이 단면의 도심이 된다는 것과 도심에 대한 단면 1차 모멘트는 0이라는 것을 알 수 있습니다.

그림 2. 단면 1차 모멘트 계산식 유도

위에서 얻은 식을 이용해 x축을 기준 축으로 하는 아래 경우들의 단면 1차 모멘트를 계산할 수 있습니다. 각 단계의 계산을 통해 단면 1차 모멘트의 성질과 어떻게 단면 1차 모멘트를 통해 도심을 계산할 수 있는지에 대해 알 수 있습니다.

그림 3. 임의 단면에 대한 단면 1차 모멘트 계산

1) 1번 경우

• 기준 축인 x축에서 e만큼 떨어진 위치에 있는 x’축을 기준으로 단면 1차 모멘트를 계산합니다. 결과를 통해 기준 축에서 멀어질수록 e만큼 단면 1차 모멘트가 증가함을 알 수 있습니다.
• 기준 축으로부터 해당 요소까지의 거리 y’을 파트별로 y와 e로 분리해서 고려할 수 있다는 것을 알 수 있습니다.

2) 2번 경우

• x축을 기준 축으로 하고, 1번 경우를 통해 알게 된 것처럼 x축부터 도심까지는 y0, 도심에서 임의의 면적까지는 y’’으로 나눠서 계산할 수 있습니다.
• 도심 축으로부터 단면 1차 모멘트는 0이기 때문에 y’’항이 0이 됩니다.
• 따라서 단면 1차 모멘트는 전체 단면적 곱하기 x축부터 도심까지의 거리가 됩니다.
• 전체단면적과 기준 축으로부터 도심까지의 거리의 곱으로 단면 1차 모멘트를 계산할 수 있다는 것을 알 수 있습니다.

3) 3번 경우

• 각 단면의 면적과 x축에서 각 단면 도심까지 거리의 곱을 더해서 단면 1차 모멘트를 계산할 수 있습니다.
• 세 개의 단면을 합쳤을 때의 도심 위치를 아는 경우, case(b)를 통해 알게 된 것처럼 전체 단면적과 y₀의 곱으로 단면 1차 모멘트를 계산할 수 있습니다.
• 이 결과를 통해 단면 1차 모멘트를 통해 도심을 구하는 식을 일반화 할 수 있습니다.

위 과정을 통해 얻은 일반화된 도심 계산식은 평형조 건식을 통해 도심을 직접 계산한 결과와 비교해 볼 수 있습니다. 기준 축으로부터 도심 G까지의 거리 y₀를 계산하는 과정은 다음과 같습니다.

그림 4. 평형 방정식을 이용한 도심 계산

평형 조건식을 통해 얻게 되는 도심을 계산하는 식이, 단면 1차 모멘트를 통해 얻은 것과 동일한 것을 알 수 있습니다.

3. I형 단면 예제

I형 단면의 도심, 단면 1차 모멘트, 단면 2차 모멘트를 계산할 수 있는 엑셀파일 입니다.

원하는 단면 치수를 입력하고, 결과를 얻을 수 있습니다.