경계비선형 시간이력해석(Time History Analysis) : Part 1 - Modal method

midas Civil에서 면제진 받침(Seismic isolation & vibration control bearing), Damper 등 비선형성(nonlinear property)을 가진 요소는 해석 모델에서 General Link옵션으로 구현할 수 있습니다.

General Link가 적용된 예제 모델 (마이다스 따라하기 페이지 제공)

일반적인 탄성 받침(Elastomeric Bearing), 포트 받침(Pot bearing)이 적용된 해석 모델과는 달리, General Link로 구현된 해석 모델은 선형정적해석(Linear static analysis)이 아닌 시간이력해석(Time history analysis)을 수행하게 됩니다.

이 컨텐츠 에서는 경계비선형 시간이력해석(Boundary nonlinear time history analysis)에 필요한 많은 항목 중에서 초기 하중(Initial load)을 고려하는 방법에 대해 얘기해보려고 합니다.

A. 초기 하중(Initial Load) 을 고려해야 하는 이유

비선형 시간이력해석에서, 초기 하중의 유무는 적용한 General Link에 따라 결과의 차이가 크게 나타낼 수 있습니다.

특히 마찰형 진자받침(Friction Pendulum bearing, FPB)의 경우 마찰력에 의한 감쇠는 축하중을 고려하여야 합니다. 단순하게 생각해 보아도 마찰력은 마찰 계수와 수직항력을 곱한 값이므로 축력에 따라 해당 거동이 크게 달라질 수 있습니다.

만약 초기 하중인 상부 구조물의 자중을 고려하지 않는다면, 축력이 작용하지 않으므로 마찰력이 작아지고, 이에 따라 횡방향 하중에 대해 변위가 크게 발산 할 수 있습니다.

따라서 수직 하중(고정 하중)에 대한 고려, 즉 초기하중(initial load)을 고려한 시간이력해석을 진행하여야 합니다.

시간이력해석은

• 지진파 시간이력을 정의(Load > Dynamic Load > Time History Functions)한 후,
• 시간이력하중케이스(Time History Load Case) 정의,
• 해당 시간이력을 시간에 따른 하중으로 재하(Ground Acceleration)하는 해석입니다.

시간이력함수 정의(Time History Functions) 및 지반가속도 정의(Ground Acceleration)

해석 모델에 지진파를 적용하고, 그 결과를 정적해석 결과와 조합하는 방식은 비선형 경계조건을 사용하는 해석 모델에서는 적용되지 않는 사항입니다.

탄성 받침에 대한 응답스펙트럼해석(Response Spectrum Analysis, RS)을 할 경우, 선형 정적 해석(Linear static analysis)이므로 각 하중 별 선형중첩의원리(the principle of linear superposition)가 적용됩니다. 그렇기 때문에 static load case와 seismic load case를 설계 기준에 따라 하중 조합을 만들 수 있는 것 입니다.

하지만 비선형 경계조건의 경우, 각 하중의 선형 중첩이 불가능하므로 초기 하중으로 고정 하중 등을 고려해야 합니다.

B. midas Civil에서 초기 하중을 적용하는 방법

1. 초기 하중을 적용하기 위한 옵션

그럼 초기 하중을 어떻게 적용할 수 있는지 확인해보겠습니다.

초기 하중은 Time History Load Case 에서 Order in Sequential Loading 또는, Initial Load (Global Control)로 고려할 수 있습니다.

• 해석 방법이 모드중첩법(Modal method)인 경우,Order in Sequential Loadin가 활성화 됩니다.
• 해석 방법이 직접적분법(Direct Integration)인 경우,Order in Sequential Loading과 Initial Load (Global Control)를 선택할 수 있습니다.

본 컨텐츠에서는 Nonlinear Modal method를 선택할 경우에, 초기하중이 고려되는 방법과 유의점에 대해 알아보겠습니다. 초기하중을 고려 할 수 있는 방법은 크게 두가지로 Static Load Case를 그대로 초기하중으로 고려하는 것과, Static Load Case를 Time History Load Case로 변환하여 고려하는 방법입니다. 본 컨텐츠에서는 해당 두 케이스의 결과값 비교를 통해 어떠한 방법으로 초기 하중을 적용해야 하는지 확인해보고자 합니다.

대상 모델은 납면진받침(Lead Rubber Bearing, LRB)이 정의된 교량 모델입니다.

2. 초기 하중으로 적용 가능한 Load Case

Nonlinear Modal method의 경우에는, “Order in Sequential Loading”을 통해 초기 하중을 고려하게 됩니다.

이 때, 초기 하중으로 고려할 수 있는 load case는 다음과 같습니다.

1) ST(선형정적하중) : Static load case

2) TH(시간이력하중) : 정적 하중(Static Load Case)을 Ramp Function을 이용해 Time History Load Case로 변환한 하중 (시간이력하중, TH를 적용하는 경우에는 추가적인 하중 정의가 필요합니다.)

그렇다면 해석 모델에 입력된 자중을 초기하중으로 고려하고 싶을 경우, self-weight로 입력한 ST(Dead) 하중과 Ramp Function을 통해 TH(Dead)로 변환한 하중, 두 가지 케이스가 존재합니다.

어떤 하중을 선택하는 것이 적절한 방법일까요?

생각보다 답은 간단합니다.

만약 Static load case를 시간이력해석의 초기 하중으로 설정한다면, 아래와 같은 [주의] 메세지를 마주하게 됩니다.

여기서 Force Type General Link란, 아래와 같이 비선형 특성을 정의할 수 있는 요소를 뜻합니다.

초기 하중을 ST(Dead)로 설정하고 결과 테이블을 확인하면,

• 시간이력해석의 결과에 정적해석 결과를 더했다는 것을 테이블에서 확인할 수 있습니다. 다시 말해, 시간이력해석과 관련된 추가적인 해석을 수행하는게 아니라 단순히 결과를 add 했다는 의미 입니다.
• ST(Dead)에 의한 부재력은 시간이력해석의 초기 조건으로 적용할 수 없기 때문에 초기 하중을 무시하고 시간이력해석이 진행됩니다.
• 위의 [주의] 메세지는 해당 내용에 대하여 설명하고 있습니다.
  
  

ST 하중의 결과를 시간이력해석의 초기 부재력으로 설정하지 못하는 이유는 다음과 같다.

• 만약 정적해석을 통해 얻은 부재력이 입력한 비선형 경계조건의 항복 강도를 초과 할 경우 (비탄성 영역 내 : in the inelastic region) 초과된 내력(internal force)을 처리할 수 없기 때문입니다.

따라서 어떤 하중 종류를 초기 하중으로 고려해야 하냐는 질문에 대한 답은,

→ 비선형 경계조건(예를들어, General Link의 Damper, 비선형성을 가진 link)이 적용된 모델일 경우 TH(시간이력해석 결과)를 초기 선행하중으로 적용하는 것이 적절합니다.

3. 초기 하중 조건을 ST(정적해석결과)로 설정한 예시

이해를 돕기 위해, ST하중을 초기 하중으로 고려한 모델의 결과를 확인해보겠습니다.

해석 모델은, LRB를 적용한 교량이며 시간이력해석 Load Case는 아래와 같이 설정하였습니다.

Static load case로 정의한 Dead load를 초기 하중으로 설정하여 해석을 진행하였습니다.

해석 후,

• Results Tab > Results Tables > General Link에서
• “4” 번 General Link의 ST(Dead Load) 결과와 시간이력해석(Earthquake_ST)결과를 확인합니다.

4번 General Link 의 Dead load(ST) 및 Earthquake_ST(TH) 부재력 결과

Smart Graph에서 확인하는 4번 General Link에 대한 축력 Min/Max 값은 다음과 같습니다.

초기 하중 조건을 ST(정적해석결과)로 설정한 경우의 Smart Graph 결과

초기 하중을 ST로 설정한 경우 정적해석결과를 가져오지 못하므로 0초에서 부재력이 0인 것을 확인 할 수 있습니다.

* 정확한 결과 비교를 위해 Step Number Increment for Output 값은 1로 입력하셔야 합니다.

예를 들어, 해당 값을 5로 입력하신다면 그래프 상에서는 매 5 step 마다의 결과를 출력하므로 최대 혹은 최소 부재력이 미세하게 달라질 수 있습니다.

그래프 상의 부재력 결과는 아래와 같습니다.

• 축력 최대 : 217.434 kN
• 축력 최소 : -187.511 kN

Smart Graph에 출력되는 시간이력해석의 최대/최소 축력 값과, Result Table에 출력 되는 결과가 다른 것을 확인 할 수 있습니다.

비선형 경계요소는 정적해석결과를 초기 조건으로 가져오지 못합니다.

그래서 Result Table에서는 (초기 하중이 0인 상태에서 시작된 시간이력해석의 결과 값) + (초기 하중에 대한 정적해석 결과 값)을 더해서 보여주고 있습니다.

따라서 위 Result Table에서의 값은 아래와 같이 계산됩니다.

60번 절점 (General Link 4 의 i 단)

• Earthquake_ST(max) : -884.696 kN 의 값은,
  • 1102.13 (Dead load(ST)) + 217.434(위 그래프에서의 최대 축력) = -884.696 kN 입니다.
• Earthquake_ST(min) : -1289.614 kN의 값은,
  • 1102.130 (Dead load(ST)) - 187.511(위 그래프에서의 최소 축력) = -1289.641 kN 입니다.

위의 내용을 통해 얻을 수 있는 결론은 다음과 같습니다.

• 만약 비선형경계조건이 적용된 모델에서 시간이력해석의 초기 하중으로 ST 하중으로 고려할 경우, static analysis결과를 초기 하중 조건으로 적용하지 않는다.
• 이에 따라, Smart Graph 상의 최대/최소 값과 결과 테이블 값(Result Table)에서 부재력 결과가 다르게 출력될 수 있다.

따라서 실제 비선형 거동을 구현하기 위해서, ST 하중을 초기 하중으로 설정하는 것은 적절치 않다고 볼 수 있습니다.

그렇다면, 정적 하중을 초기 하중으로서 어떻게 고려해야 하는지 알아보도록 하겠습니다.

C. 모드중첩법에서 초기 하중 적용 방법 예시

1. 고정하중을 TH하중으로 고려하기 위한 Time History Load Case

지진파 시간이력해석의 Load Case가 Nonlinear Modal method 인 경우, 초기 하중은 Ramp 하중으로 입력하게 됩니다. (Time Varying Static Loads 기능)

조금 더 자세히 해당 내용을 살펴보도록 하겠습니다.

Loads > Dynamic Loads > Load Cases

고정 하중을 시간이력해석의 초기 조건으로 반영하기 위해서는, 고정하중에 대하여 시간이력해석 수행 후, 해당 부재력을 본 해석(지진파 시간이력해석)의 초기 하중으로 재하하여야 합니다. 따라서 고정하중(ST)를 시간이력하중(TH) 로 변환하는 Time History Load Case를 만들어주어야 하며 이는 아래와 같습니다.

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전체 콘텐츠에는 아래 내용까지 포함되어 있어요!

1. 고정하중을 TH하중으로 고려하기 위한 Time History Load Case

2. 고정하중의 Time History Function

3. 동적하중 정의를 위한 Time Varying Static Loads

4. 초기하중을 고려한 시간이력해석

i. End Time, Time Increment, Step Number Increment for Output

ii. 초기 하중 정의 (Order in Sequential Loading)

iii. Damping Method

D. 마무리