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Von-mises 응력과 강교량에 대한 적용

등가 응력(Equivalent Stress)이라고도 불리는 본-미세스 응력(Von-mises Stress)은 토목 엔지니어들에게 매우 중요한 개념입니다. 이 개념은 1913년 오스트리아의 루트비히 폰 미제스(Richard Von Mises)에 의해 도입되었고 오늘날까지 재료의 항복 강도와 파괴를 예측하기 위한 대표적인 이론입니다.

물체에 외력이 가해지면 어느 순간 물체는 항복 또는 파괴가 일어나 되며 이때 물체가 항복할지 또는 파괴될지를 판단하는 데 사용되는 대표적인 이론 중 하나가 본-미세스 응력이며 철골과 같은 연성 재료에 주 사용됩니다. 여기서는 본-미세스 응력이 무엇인지, 토목 엔지니어들에게는 왜 중요한지, 이를 어떻게 적용할 건지에 대해 알아보겠습니다.

Stress Contour of Steel Connection

1. 정적 파손 이론 (Static Failure Theory) 

응력을 관찰하는 주된 이유는 물체의 파괴를 예측하기 위해서입니다. 이번 내용에서는 물체가 정하중 상태에 놓여있을 때 물체가 어떻게 파괴되는지 예측하는 방법에 대해 설명합니다. 먼저 물체의 파괴는 물체의 형상, 하중 및 재료에 의해 영향을 받습니다.

일반적으로 재료는 변형에 따라 연성재료와 취성재료로 구분됩니다. 연성재료는 탄성 구간을 넘어가면 소성변형을 일으키며 파괴가 되고 취성재료는 탄성 구간을 넘어 소성 구간에 들어가게 되면 즉시 파괴가 일어나는 특징을 가지고 있습니다.

이 중 연성 재료의 파괴를 예측하기 위한 이론에는 여러 가지가 있지만 정적 파손 이론은 다음과 같이 세 가지가 있습니다.

• Von-Mises 응력 이론 (최대 뒤틀림 에너지 이론)
• 최대 전단 응력 이론
  
• 최대 수직 응력 이론
  

최대 전단 응력 이론(N = µys / µmax )과 Von Mises 응력 이론(N = µy / µ')은 모두 파괴에 대한 안전 계수를 계산하는 데 유용한 방법입니다. 그러나 최대 전단 응력 이론은 Von-Mises 응력 이론보다 약간 더 보수적입니다.
최대 주응력 이론(N = µy / µ1)의 경우에는 안전 계수 N값이 1보다 크더라도 파괴가 일어날 수 있습니다. 

2. Von-mises 수식 산출 과정

1) 정수압(Hydrostatic Loading)

수압과 같이 균등한 압력을 받는 재료는 수직 응력 (normal stress)만 있고, 전단 응력(shear stress)은 발생하지 않습니다. 따라서 극한 강도 이상으로 응력을 받더라도 파괴가 발생하지 않게 됩니다.

정수압은 물체의 부피에만 변화를 일으키기 때문에 영구적인 변형은 일으키지 않습니다. 물체의 소성 변형이나 파괴는 형상이 변화하면서 발생하게 되는데, 이는 정수압 성분을 제외한 다른 성분 때문에 발생합니다. 

2) 변형 에너지

그림 4.는 응력-변형률과 에너지 사이의 관계를 보여줍니다

그림 4. 변형 에너지

그래프에서 알 수 있듯 변형 에너지(U)는 다음과 같습니다 :

따라서 3차원 응력 상태에서 변형 에너지는 다음과 같습니다 :

이를 응력과 변형률의 관계를 이용하여 변형 에너지 방정식에 대입하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

앞에서 정수압만으로는 파괴가 발생하지 않는다는 것을 알 수 있기 때문에 변형 에너지는 정수 에너지 (Hydrostatic Energy)와 뒤틀림 에너지 (Distortion Energy)로 나뉠 수 있습니다.

정수 에너지를 발생시키는 응력은 모든 방향에서 동일하므로 주응력을 다음과 같이 나눌 수 있습니다 :

이를 모두 더하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

이때, 뒤틀림(Distortion)이 없는 체적 변화의 경우 괄호 안의 항은 0이어야 합니다.

정수압 응력이 모든 방향에서 동일하다는 것을 알고 있기 때문에 이를 통해 정수 에너지(Uh)를 찾을 수 있습니다. 이를 총에너지에 대입하면 다음과 같은 뒤틀림 에너지(Ud)를 얻을 수 있습니다.

이를 이용하여 확인하면 다음과 같습니다 :

이를 본-미세스 응력(Von-mises Stress)이라고 하며, 다른 응력보다 뒤틀림 에너지(Distortion Energy, Ud)를 통해 구조물의 파괴를 정확하게 예측할 수 있는 방법입니다.

3) Von-Mises 응력

Von-Mises 응력은 "실제 결합된 응력에 의해 생성되는 것과 동일한 뒤틀림 에너지를 생성하는 등가 응력"으로 정의됩니다. 3차원 응력 상태에서 Von-Mises는 다음과 같습니다.

이를 작용한 응력으로 치환하면, 아래와 같이 표현할 수 있습니다. 

4) 안전 계수

안전 계수는 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

N = 파괴응력 / 허용응력

안전계수 N이 1보다 클 경우 물체는 파괴되지 않으며 대다수의 경우 안전계수 N값이 1보다 큽니다.

1.3 <= N <= 5 또는 이상

안전계수 N값이 작은 경우에는 1.3 정도의 작은 값을 사용하기도 하지만 안전률이 커야 하거나 불확실성이 클수록 안전계수는 큰 값을 사용해야 합니다. Von-Mises 응력의 경우 안전계수는 다음과 같이 계산됩니다.

N = σ_y / σ‘ = 항복응력 / Von mises 응력

3. 강교 설계 시 Von-Mises 응력 검토 예제 

Von-Mises 응력을 통해 물체가 파괴될지를 예측할 때, 물체의 항복을 판단하기 위해 Von-Mises 항복 조건을 적용하며, Von Mises 응력 이론(N = σy / σ')을 통하여 파괴에 대한 안전 계수를 구할 수 있습니다. 따라서 항복을 판단할 재료가 Von-Mises 항복 조건을 만족하는지 확인해야 합니다.

강교 적용 예제

Von Mises 응력은 강교에 널리 적용되며 가장 선호되는 파괴 이론입니다. 따라서 강교에 적용하기 위해 Von-Mises 응력 및 항복 강도를 확인합니다.

그림 7.과 같이 midas Civil의 아치교량 모델을 살펴보면, 재료 E250이 적용된 거더의 항복 강도는 250N/mm² 입니다. 복선 열차하중이 재하된 아치교량의 Von-Mises 응력을 검토하기 위해 가장 큰 응력이 예상되는 교량 경간 중앙의 거더와 가로 브레이싱의 응력을 확인합니다. 

그림 7. 열차 하중이 적용된 Arch 거더의 midas Civil 모델

Von-Mises 응력은 midas Civil의 Results > Stresses > Beam Stresses (Equivalent) > Von-Mises에서 확인할 수 있습니다.

그림 8. midas Civil 모델에서 Von-mises 응력 옵션

Von-Mises 기능을 통해 경간 중앙부 부근의 메인 거더에 대한 Von-Mises 응력을 확인해보면 159N/mm²로 항복 강도 값보다 작으므로 설계는 안전합니다. 그러나 단면을 수정하여 더 높은 안전 계수를 고려할 수 있습니다.

그림9. 경간 중앙부 부근에서 세로보에 대한 Von-mises 응력

그림 10. 경간 중앙부 부근에서 가로 브레이싱에 대한 Von-mises 응력